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<title>Abstrakte Algebra</title>

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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Abstrakte Algebra</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Die <b>Abstrakte Algebra</b> ist das Teilgebiet der <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a>, das sich mit einzelnen <a href="Algebraische_Struktur" title="Algebraische Struktur">algebraischen Strukturen</a> wie <a href="Gruppe_(Mathematik)" title="Gruppe (Mathematik)">Gruppen</a>, <a href="Ring_(Algebra)" title="Ring (Algebra)">Ringen</a>, <a href="K%C3%B6rper_(Algebra)" title="Körper (Algebra)">Körpern</a>, <a href="Modul_(Mathematik)" title="Modul (Mathematik)">Moduln</a> und nicht zuletzt den <a href="Algebra_%C3%BCber_einem_K%C3%B6rper" title="Algebra über einem Körper">Algebren</a> beschäftigt<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> und deren Eigenschaften untersucht. Die Bezeichnung „abstrakte“ Algebra dient der Abgrenzung zu anderen <a href="Teilgebiete_der_Mathematik" title="Teilgebiete der Mathematik">Teilgebieten der Mathematik</a>, die, historisch bedingt, ebenfalls als <a href="Algebra" title="Algebra">Algebra</a> bezeichnet werden,<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> wie etwa die <a href="Elementare_Algebra" title="Elementare Algebra">elementare Algebra</a> der Schulmathematik.

</p><p>In der <a href="Geschichte_der_Mathematik" title="Geschichte der Mathematik">Geschichte der Mathematik</a> tauchten algebraische Strukturen zuerst in anderen Teilgebieten der Mathematik auf, wurden dann axiomatisch spezifiziert und schließlich als eigenständige Gebilde in der abstrakten Algebra untersucht. Deshalb hat die abstrakte Algebra viele Verbindungen zu allen Zweigen der Mathematik. Durch den abstrakten Zugang lassen sich beispielsweise übergeordnete <a href="Symmetrie_(Geometrie)" title="Symmetrie (Geometrie)">Symmetrien</a> entdecken, die dann in mehreren, eigentlich ganz verschiedenen Objekten existieren. Ein moderner Ansatz ist die <a href="Kategorientheorie" title="Kategorientheorie">Kategorientheorie</a>. Anwendungen findet die abstrakte Algebra beispielsweise in der <a href="Darstellungstheorie" title="Darstellungstheorie">Darstellungstheorie</a> oder bei <a href="Schema_(algebraische_Geometrie)" title="Schema (algebraische Geometrie)">Schemata</a>.

</p><p>Als erstes Lehrbuch der modernen abstrakten Algebra gilt das Werk <i><a href="Moderne_Algebra" title="Moderne Algebra">Moderne Algebra</a></i> von <a href="Bartel_Leendert_van_der_Waerden" title="Bartel Leendert van der Waerden">Bartel Leendert van der Waerden</a>, das aus den Vorlesungen von <a href="Emil_Artin" title="Emil Artin">Emil Artin</a> und <a href="Emmy_Noether" title="Emmy Noether">Emmy Noether</a> entstand.

</p><p>Die Methoden der abstrakten Algebra werden insbesondere in der <a href="Algebraische_Geometrie" title="Algebraische Geometrie">algebraischen Geometrie</a>, <a href="Algebraische_Topologie" title="Algebraische Topologie">algebraischen Topologie</a> und <a href="Algebraische_Zahlentheorie" title="Algebraische Zahlentheorie">algebraischen Zahlentheorie</a> eingesetzt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Aufbau">Aufbau</h2></div>

<p>Eine kurze Übersicht über die abstrakte Algebra und weiterführende Gebiete.

</p>

<dl><dd><a href="Gruppentheorie" title="Gruppentheorie">Gruppentheorie</a>

<dl><dd><a href="Endliche_Gruppe" title="Endliche Gruppe">Endliche Gruppe</a></dd>

<dd><a href="Geometrische_Gruppentheorie" title="Geometrische Gruppentheorie">Geometrische Gruppentheorie</a></dd></dl></dd>

<dd><a href="Ringtheorie" class="mw-redirect" title="Ringtheorie">Ringtheorie</a>

<dl><dd><a href="Kommutative_Algebra" title="Kommutative Algebra">Kommutative Algebra</a></dd></dl></dd>

<dd><a href="K%C3%B6rpertheorie" class="mw-redirect" title="Körpertheorie">Körpertheorie</a>

<dl><dd><a href="K%C3%B6rpererweiterung" title="Körpererweiterung">Körpererweiterung</a>

<dl><dd><a href="Galoistheorie" title="Galoistheorie">Galoistheorie</a></dd></dl></dd></dl></dd></dl>

<p>Weiterführende Fachgebiete

</p>

<dl><dd><a href="Algebraische_Geometrie" title="Algebraische Geometrie">Algebraische Geometrie</a></dd>

<dd><a href="Algebraische_Topologie" title="Algebraische Topologie">Algebraische Topologie</a></dd>

<dd><a href="Algebraische_Zahlentheorie" title="Algebraische Zahlentheorie">Algebraische Zahlentheorie</a></dd>

<dd><a href="Darstellungstheorie" title="Darstellungstheorie">Darstellungstheorie</a></dd>

<dd><a href="Homologische_Algebra" title="Homologische Algebra">Homologische Algebra</a></dd>

<dd><a href="Kategorientheorie" title="Kategorientheorie">Kategorientheorie</a></dd>

<dd><a href="Lie-Theorie" title="Lie-Theorie">Lie-Theorie</a></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><i>dtv-Atlas zur Mathematik</i>, Bd. 1, 2. Auflage 1976, S. 70 ff.</li>

<li><i>Abstract Algebra</i>, Pierre-Antoine Grillet, (2007, ISBN 978-0-387-71567-4)</li>

<li><i>Algebra</i>, <a href="Serge_Lang" title="Serge Lang">Serge Lang</a> (2002, ISBN 978-0-387-95385-4)</li>

<li><i>Abstract Algebra</i>, Gregory T. Lee (2018, ISBN 978-3-319-77648-4)</li>

<li>Abstract Algebra, David R. Finston, Patrick J. Morandi (2014, ISBN 978-3-319-04497-2)</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Wikibooks"></span></span></div><b><a href="https://de.wikibooks.org/wiki/Mathematik:_Algebra" class="extiw external" title="b:Mathematik: Algebra">Wikibooks: Mathematik: Algebra</a></b> – Lern- und Lehrmaterialien</div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Gregory T. Lee: <cite style="font-style:italic">Abstract algebra : an introductory course</cite>. Cham 2018, ISBN 978-3-319-77649-1.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Abstrakte+Algebra&rft.au=Gregory+T.+Lee&rft.btitle=Abstract+algebra+%3A+an+introductory+course&rft.date=2018&rft.genre=book&rft.isbn=9783319776491&rft.place=Cham" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">H.-W. Alten, A. Djafari Naini, B. Eick, M. Folkerts, H. Schlosser: <cite style="font-style:italic">4000 Jahre Algebra</cite>. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-38238-3, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-642-38239-0">10.1007/978-3-642-38239-0</a></span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Abstrakte+Algebra&rft.au=H.-W.+Alten%2C+A.+Djafari+Naini%2C+B.+Eick%2C+...&rft.btitle=4000+Jahre+Algebra&rft.date=2014&rft.doi=10.1007%2F978-3-642-38239-0&rft.genre=book&rft.isbn=9783642382383&rft.place=Berlin%2C+Heidelberg&rft.pub=Springer+Berlin+Heidelberg" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">Jeremy Gray: <cite style="font-style:italic">A history of abstract algebra: from algebraic equations to modern algebra</cite>. Cham, Switzerland 2018, ISBN 978-3-319-94773-0.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Abstrakte+Algebra&rft.au=Jeremy+Gray&rft.btitle=A+history+of+abstract+algebra%3A+from+algebraic+equations+to+modern+algebra&rft.date=2018&rft.genre=book&rft.isbn=9783319947730&rft.place=Cham%2C+Switzerland" style="display:none"> </span></span>

</li>

</ol>

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Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4061777-4">4061777-4</a></span> </div>

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